Resumen
El desarrollo de la población de Estados Unidos desde 1790 puede ser modelado en terminos de una ecuación diferencial no lineal con un coeficiente dependiente del tiempo, El proceso de desarrollo representado por el modelo esta sujeto a los efectos de inmigración, guerra, prosperidad y el asi llamado factor “cultural”. Especificamente la ecuación asume que la tasa de desarrollo para un aña particular es el resultado de factores positivos, trabajando contra fadores limitantes.
Los factores positivos comprenden(1) un termino proporcional al tamano de la población, P, para ese año particular, y (2) un termino igual a la población inmigrante, Pm'Pm', para ese aña particular. Los factores limitantes son todos proporcionales al cuadrado del presente tamaño de población,p2, comprenden un término de guerra, W, que ayuda al proceso de limitación del desarrollo; un término de prosperidad, ∈g, que inhibe el proceso limitante, y un término cultural,C, que apoya tambien el proceso limitante.
El termino de guerra,W, es tornado proporcionalmente al tamaño en tiempo de guerra de las fuerzas del país, asumiento que los afectos de la guerra en el desarrollo de la población de un territorio enfrentado con las perspectiva de un conflicio inmediato incluye al mismo tiempo las perdidas de vidas y la disrupción de la vida de familia y planes de los directamente involucrados en el conflicto.
El término ∈g intenta ser una medida del nivel de prosperidad general. Es tomado para que sea proporcional a las altas y bajas del GNP, arriba a abajo de la linea de tendencia, esta ultima es hallada ajustando la curva can los datos del GNP a una curva de desarrollo. Finalmente, el término cultural,C, se asume que varia con el tiempo, pero que no esta ligado explicitamente a causas conocidas, sociales, de ambiente, u otras. Este término probablemente esté conectado a la distribución de edades dentro de la población, edad promedio de las parejas en el primer matrimonio, número de chicos por mujer en edades de tener hijos, avances de la medicina, el conjunto de valores prevaecientes, la tendencia al planeamiento familiar, y así en consecuencia. La historia en el tiempo deC, tal como emerge de la optimización basada en computaciones de nuestro propio modelo muestra una tendencia descendente. El usa de la palabra “cultural” deja alga que desear, desde que fenómenos como la guerra, prosperidad, inmigración, excluidos deC son sin embargo producto de la cultura.
Con la forma analítica de la ecuacion diferencial describiendo el desarrollo de la población establecida de esta manera, todos los “parámetros” porporcionalmente constantes, involucrados, fueron determinados por media de una computadora digital y sabre la base de un proceso de optimización que utilizó los datos sabre tamaño e poblacion correspondiental periodo 1790–1965.
El residua (p* —p) de esta optimización, o proceso de ajustamiento de la curva fué examinado adicionalmente a traves de su función de autocorrección por la determinación de componentes adicionales no tenidos en cuenta por el modelo hasta este punto. La función de autocorrelacion provee una medida de la dependencia de la población iamañop* para cada aña sobre valores pasados dep.* Esto tiene la característica de elevar cualquier patron regular posible presente en los datos por encima del nivel de las fluctuaciones al azar.
La función de autocorrelación de los residuos (p* —p) indica la presencia de un componente periódico can un periódo de más a menos 65 años. Correspondientemente un término periódico del mismo período fue incluido en el factor culturalC, y el modelo fue reoptimizado. Esto resultó en una reducción substancial de los residuos. Una prueba similar del término de prosperidad ∈g indica lla presencia de un periódo la mitad de largo.
Summary
The growth of the United States population since1790 can be modeled in terms of a nonlinear differential equation with time-dependent coefficients. The growth process represented by the model is subject to the effects of immigration, war, prosperity, and a so-called “cultural” factor. Specifically, the equation assumes that the rate of growth for a particular year is the result of positive factors' working against limiting factors.
The positive factors comprise(1) a term proportional to the population size,p, for that particular year, and(2) a term equal to the immigrant population, pm′, for the same year. The limiting factors are all proportional to the square of the present population size,p2 and comprise a war term,w, that aids the growth-limiting process; a prosperity term, ∈g′, that inhibits the limiting process; and a culture termC, that supports the limiting process, too.
The term,w, is taken to be proportional to the wartime size of the country's armed forces, assuming that the war effects on population growth of a land faced with either the immediate prospect or the reality of armed conflict include both the casualties and the disruption of family life and planning of those directly involved.
The term ∈g′ is intended to be a measure of the general prosperity level. It is taken to be proportional to the ups and downs of the GNP, above or below a smooth trend line, the latter being found by curve-fitting a growth curve to the actual GNP data.
Finally, the culture term,C, is assumed to vary with time, but not to be tied explicitly to known environmental, social, or other causes. It is probably connected to age distribution within the population, average age of partners of first marriages, number of children per woman of childbearing age, advances in medicine, the set of prevailing values, the trend of family planning, and so on. The time history ofC emerging from the computer-based optimization of the model shows a downward trend. The use of the word “cultural” leaves something to be desired, since such phenomena as war, prosperity, and immigration excluded fromC are nevertheless products of culture.
With the analytical form of the differential equation describing population growth set up in this way, all proportionality constants (parameters) involved were determined by means of a digital computer and on the basis of an optimization process which utilized the actual data of population sizep* over the period 1790–1965.
The residual (p*—p) of this optimization or curve-fitting process was further examined through its autocorrection function, for additional deterministic components which were not accounted for by the model up to this point. The auto-correlation function provides a measure of the dependence of the population sizep* for any year upon past values ofp*; it has the distinct feature of lifting any regular pattern possibly present in the data above the level of random fluctuations.
The autocorrelation function of the residual (p*—p) did indicate the presence of a periodic component with a period of about sixty-five years. Accordingly, a periodic term of the same period was included in the cultural factor C, and the model was reoptimized. This resulted in a substantial reduction of the residual. A similar probing of the prosperity term, ∈g, indicates the presence of a period one-half as long.
